转自大佬: banananana
另一位大佬:ivanovcraft
树链剖分原理和实现
树链剖分就是将树分割成多条链，然后利用数据结构（线段树、树状数组等）来维护这些链。
首先就是一些必须知道的概念：
重结点：子树结点数目最多的结点；
轻节点：父亲节点中除了重结点以外的结点；
重边：父亲结点和重结点连成的边；
轻边：父亲节点和轻节点连成的边；
重链：由多条重边连接而成的路径；
轻链：由多条轻边连接而成的路径；
树链剖分
比如上面这幅图中，用黑线连接的结点都是重结点，其余均是轻结点，2-11就是重链，2-5就是轻链，用红点标记的就是该结点所在链的起点，也就是我们👇提到的top结点，还有每条边的值其实是进行dfs时的执行序号。
算法中定义了以下的数组用来存储上边提到的概念：1
2
3
4
5
6
7
8名称 解释
siz[u] 保存以u为根的子树节点个数
top[u] 保存当前节点所在链的顶端节点
son[u] 保存重儿子
dep[u] 保存结点u的深度值
faz[u] 保存结点u的父亲节点
tid[u] 保存树中每个节点剖分以后的新编号（DFS的执行顺序）
rnk[u] 保存当前节点在树中的位置
除此之外，还包括两种性质：
如果(u, v)是一条轻边，那么size(v) < size(u)/2；
从根结点到任意结点的路所经过的轻重链的个数必定都小与O(logn)；
首先定义以下数组：1
2
3
4
5
6
7
8
9const int MAXN = (100000 << 2) + 10;
//Heavy-light Decomposition STARTS FORM HERE
int siz[MAXN];//number of son
int top[MAXN];//top of the heavy link
int son[MAXN];//heavy son of the node
int dep[MAXN];//depth of the node
int faz[MAXN];//father of the node
int tid[MAXN];//ID -> DFSID
int rnk[MAXN];//DFSID -> ID
算法大致需要进行两次的DFS，第一次DFS可以得到当前节点的父亲结点（faz数组）、当前结点的深度值（dep数组）、当前结点的子结点数量（size数组）、当前结点的重结点（son数组）1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25void dfs1(int u, int father, int depth) {
/*
* u: 当前结点
* father: 父亲结点
* depth: 深度
*/
// 更新dep、faz、siz数组
dep[u] = depth;
faz[u] = father;
siz[u] = 1;
// 遍历所有和当前结点连接的结点
for (int i = head[u]; i; i = edg[i].next) {
int v = edg[i].to;
// 如果连接的结点是当前结点的父亲结点，则不处理
if (v != faz[u]) {
dfs1(v, u, depth + 1);
// 收敛的时候将当前结点的siz加上子结点的siz
siz[u] += siz[v];
// 如果没有设置过重结点son或者子结点v的siz大于之前记录的重结点son，则进行更新
if (son[u] == -1 || siz[v] > siz[son[u]]) {
son[u] = v;
}
}
}
}
第二次DFS的时候则可以将各个重结点连接成重链，轻节点连接成轻链，并且将重链（其实就是一段区间）用数据结构（一般是树状数组或线段树）来进行维护，并且为每个节点进行编号，其实就是DFS在执行时的顺序（tid数组），以及当前节点所在链的起点（top数组），还有当前节点在树中的位置（rank数组）。1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24void dfs2(int u, int t) {
/**
* u：当前结点
* t：起始的重结点
*/
top[u] = t; // 设置当前结点的起点为t
tid[u] = cnt; // 设置当前结点的dfs执行序号
rnk[cnt] = u; // 设置dfs序号对应成当前结点
cnt++;
// 如果当前结点没有处在重链上，则不处理
if (son[u] == -1) {
return;
}
// 将这条重链上的所有的结点都设置成起始的重结点
dfs2(son[u], t);
// 遍历所有和当前结点连接的结点
for (int i = head[u]; i; i = edg[i].next) {
int v = edg[i].to;
// 如果连接结点不是当前结点的重子结点并且也不是u的父亲结点，则将其的top设置成自己，进一步递归
if (v != son[u] && v != faz[u]){
dfs2(v, v);
}
}
}
而修改和查询操作原理是类似的，以查询操作为例，其实就是个LCA，不过这里使用了top来进行加速，因为top可以直接跳转到该重链的起始结点，轻链没有起始结点之说，他们的top就是自己。需要注意的是，每次循环只能跳一次，并且让结点深的那个来跳到top的位置，避免两个一起跳从而插肩而过。1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57INT64 query_path(int x, int y) {
/**
* x：结点x
* y：结点y
* 查询结点x到结点y的路径和
*/
INT64 ans = 0;
int fx = top[x], fy = top[y];
// 直到x和y两个结点所在链的起始结点相等才表明找到了LCA
while (fx != fy) {
if (dep[fx] >= dep[fy]) {
// 已经计算了从x到其链中起始结点的路径和
ans += query(1, tid[fx], tid[x]);
// 将x设置成起始结点的父亲结点，走轻边，继续循环
x = faz[fx];
} else {
ans += query(1, tid[fy], tid[y]);
y = faz[fy];
}
fx = top[x], fy = top[y];
}
// 即便找到了LCA，但是前面也只是分别计算了从一开始到最终停止的位置和路径和
// 如果两个结点不一样，表明仍然需要计算两个结点到LCA的路径和
if (x != y) {
if (tid[x] < tid[y]) {
ans += query(1, tid[x], tid[y]);
} else {
ans += query(1, tid[y], tid[x]);
}
} else ans += query(1, tid[x], tid[y]);
return ans;
}
void update_path(int x, int y, int z) {
/**
* x：结点x
* y：结点y
* z：需要加上的值
* 更新结点x到结点y的值
*/
int fx = top[x], fy = top[y];
while(fx != fy) {
if (dep[fx] > dep[fy]) {
update(1, tid[fx],tid[x], z);
x = faz[fx];
} else {
update(1, tid[fy], tid[y], z);
y = faz[fy];
}
fx = top[x], fy = top[y];
}
if (x != y)
if (tid[x] < tid[y]) update(1, tid[x], tid[y], z);
else update(1, tid[y], tid[x], z);
else update(1, tid[x], tid[y], z);
}
个人写法
1 | int n, m, r, rt, mod, v[maxn], head[maxn], cnt, fa[maxn], size[maxn], d[maxn], son[maxn], top[maxn], id[maxn], rk[maxn]; |